P1041 solution

思路分析。

首先有两个位数相同的数 $a , b\ (\ 1\le a,b\lt 10^6\ )$ , 交换它们对应数位的上的数使 $a\times b$ 最大。
是个正常人都看得出来，这道题有一个关键的性质： a+b 不变。那它有什么用呢？
定理1：周长相同的矩形中，正方形面积最大。
也就是说，我们只需要让新的数字 $a_2\ ,\ b_2$ 相等就好了。
要是不相等呢？没有关系，可以让 $a_2$ 成为两个数里面大的那个，只要它们的差最小就好了。
具体怎么做呢？
很简单，两个数字数位从高到低扫一遍，数字相同最好，如果出现了不相同的情况，就是第一次数字不同，就把 $a_2$ 存数字较大的， $b_2$ 存数字小的，之后所有数位的操作反过来，即 $a_2$ 存小的， $b_2$ 存大的，这样，可以使 $a_2\gt b_2$ 且它们的差最小。

代码实现

就知道你们爱看这个

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<string> 
//我是不会用万能头哒!!!

using namespace std;
#define int long long

string a,b;     //输入的数字
char a1,b1;     //a,b当前数位上的值
int ia,ib;      //转成数字的a,b
bool equals=1;  //两个数目前是否相等,默认为1
signed main()
{
  cout<<"Created by _LogicFish_"<<endl;
	cin>>a>>b; //输入~
	for(int i=0;i<a.size();i++)
	{
		a1=a[i],b1=b[i];   //记录当前数字
		if(equals&&a1!=b1) //以前相同,从这一位开始不一样了
			a[i]=max(a1,b1),
			b[i]=min(a1,b1); //见思路分析
		else
			a[i]=min(a1,b1),
			b[i]=max(a1,b1); //见思路分析
		if(a1!=b1) equals=0; //如果不一样,equals改变状态
      //不知道为什么,写成equals=a1==b1就错了qwq
	}
	for(int i=0;i<a.size();i++)
		ia=ia*10+a[i]-'0';
	for(int i=0;i<b.size();i++)
		ib=ib*10+b[i]-'0';
  //将更新的字符串转成数字
	cout<<ia*ib; //完美的输出~!
	return 0;
}

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附录

关于定理1：证明过程

设正方形的边长为 $a$ ，面积为 $S_1$ ，则正方形的面积为 $S_1=a^2$。
设长方形形的长为 $b$ ，宽为 $c$ ，面积为 $S_2$，则矩形的面积 $S_2=bc\ ,\ b>c$。
由于正方形与矩形的周长相等，所以，

$$4a=2(b+c)$$

即

$$a=\frac{1}{2}(b+c)$$

通过推导，可以得到

$$S_1-S_2=a^2 - bc= (\frac{1}{2}(b+c))^2 -bc$$

其中，$(\frac{1}{2}(b+c))^2=\frac{1}{4} \times (b^2+c^2+2bc)$ 带入得

$$S_1-S_2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2)+\frac{1}{2}bc-bc\\ S_1-S_2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2)-\frac{1}{2}bc\\ S_1-S_2 = \frac{1}{4}(b^2+c^2-2bc)\\ S_1-S_2 = \frac{1}{4}(b-c)^2 $$

$\because b>c,$ $\therefore b-c>0$ $\therefore \frac{1}{4}(b-c)^2>0$ 也就是说 $S_1-S_2>0$ ！！ 证毕。